di Michelangelo Rocchetti
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Covid-19 la matematica ci spiega perché dobbiamo restare a casa

Quasi tutti conosciamo il termine “crescita esponenziale”, tuttavia non siamo pienamente consapevoli del suo vero significato: quello matematico. Partiamo da una sequenza di numeri apparentemente piccoli, si rimane sorpresi come questi possano diventare molto grandi in breve tempo pur seguendo la serie lo stesso modello di crescita esponenziale.

Matematicamente per crescita esponenziale si intende quando giorno dopo giorno una certa quantità viene moltiplicata per una certa costante. I virus sono un esempio da manuale per le crescite di questo tipo, dato che ciò che causa i nuovi casi sono i casi già esistenti.
Volendo entrare nei dettagli tecnici, se il numero di casi in un qualsiasi giorno è N_d, e diciamo che ogni individuo infettato è in media esposto a E persone ogni giorno ed ognuna di esse ha una probabilità p di venir contagiata e di ammalarsi, allora il numero di nuovi casi ogni giorno è il prodotto:

Il numero di contagiati del giorno successivo al giorno preso in esame verrà indicato con N_d+1 e sarà pari alla somma dei contagiati del giorno precedente ed il numero di nuovi contagiati, quindi;

Con un passaggio algebrico (il raccoglimento a fattor comune) otteniamo poi:

Da questa ultima forma si capisce chiaramente che il numero di contagi del giorno seguente si ottiene moltiplicando il numero di contagi del giorno precedente per una qualche costante (1+E · p) maggiore di 1.

Nel caso del Covid-19 nelle Marche, osservando le tabelle seguenti è possibile stimare il valore della costante.

La prima colonna mostra i contagi effettivi nel mese di marzo, la seconda colonna mostra una crescita esponenziale con costante pari a 1.3 mentre la terza mostra una crescita esponenziale con costante pari a 1.4.
La tabella quindi ci permette di stimare la costante, per la regione Marche, ha un valore compreso tra 1.3 e 1.4.

Giorno dopo giorno dunque il numero di contagi è destinato sempre ad aumentare; se continuerà questo ritmo di crescita, considerando la costante 1.4, ci troveremo con 10mila contagiati tra 7 giorni, mentre tra soli 22 giorni i contagiati saranno più di 1 milione e 600mila e i giorni successivi ancora di più.

Ma un momento, la popolazione delle Marche è di meno di 1 milione e 600mila abitanti, la cosa è preoccupante, significa che entro 3 settimane ogni marchigiano avrà contratto il Coronavirus? Per fortuna no, è ovvio che la crescita non può continuare per sempre; deve cominciare a rallentare prima o poi, il punto cruciale è sapere quando (e perché). Innanzitutto le formule di crescita esponenziale scritte in precedenza non tengono conto del fatto che chi è già stato infettato non può essere infettato una seconda volta. Considerando questo è evidente che ad un certo punto, quando metà della popolazione totale è già stata infettata, la crescita non potrà più essere esponenziale. Questo pone un tetto al numero di infettati che non potrà crescere per sempre ma che potrà al massimo stabilizzarsi sul numero totale di abitanti della regione (il famoso milione e 600mila). La cosa non è però troppo incoraggiante: la previsione matematica è che saremo contagiati comunque tutti, ma in un tempo maggiore di 22 giorni.

Sembriamo quindi spacciati in ogni caso ma torniamo un istante alla formula che indica i contagiati del giorno successivo:

Fino ad ora abbiamo parlato di crescita esponenziale in quanto il numero di contagiati di domani sarà il numero i contagiati di oggi per una costante maggiore di uno, ma è proprio qui la chiave di volta del problema. La crescita risulta esponenziale se (1 + E · p) è una costante maggiore di 1. Se (1 + E · p) invece fosse proprio pari a 1 (ovvero E · p pari a 0) cosa succederebbe? Beh succederebbe che domani avremmo lo stesso numero di contagiati di oggi, quindi nessun nuovo contagio, quindi l’arresto dell’epidemia.

Allora come possiamo fare per avvicinare il termine E · p a 0? Ricordiamo cosa indicano E e p: p era la probabilità di contrarre il virus ad ogni esposizione ad esso, e qui possiamo fare ben poco.
Un vaccino porterebbe subito P a 0, ma sappiamo che questo ancora non esiste. E invece era il numero medio di persone che un infetto incontra in un giorno. È questo il parametro su cui ognuno di noi ha controllo: se stiamo a casa ed evitiamo di incontrare persone facciamo in modo che il valore di E diminuisca. Più gente sta a casa più diminuisce il valore di E e quindi di contagiati del giorno seguente.

La seguente tabella mostra il numero di contagiati effettivi nella prima colonna ed il numero di contagiati calcolato con il parametro (1 + E · p) in lenta diminuzione. Nella terza colonna è riportato proprio il valore della “costante” per ciascun giorno.

Oggi -mentre scrivo- è il 12 marzo, la tabella riporta anche il dato di domani 13 marzo, questa è una mia previsione sul numero di contagiati che avremo domani nelle Marche: 699. Potrebbero essere qualcosa meno, date le misure di sicurezza adottate gli ultimi giorni; staremo a vedere cosa succede.